いまさらなのかもしれませんが、円の面積という言葉がなんだか変に思えてきました。
「円の面積」は０なのではないでしょうか？
例えば、中心(0,0), 半径１の円の定義は,
原点からの距離が１の点の集合、つまり{(x,y)| x^2+y^2=1, x,y は実数}なのですが、
これは「線」の部分ですよね。線に面積はありません。
僕らが知っている半径 r の円に対して定まる πr2 という値。
これは円で囲まれる部分の面積（もしくは円板の面積）とでも言うべきだよなと思うのですが。
高校数学の問題で、例えば、
「y=x2, x=1, x=2, および x軸で囲まれる部分の面積を求めよ」
というように問題が出されることから、
「円 x^2+y^2=1 で囲まれる面積」は π であると表現すべきなんじゃないかなぁ。
「半径 r の円の面積」が意味を持つのだとすれば、
何か単純閉曲線が定義されたときに（別に単純じゃなくてもいいけど）、
その単純閉曲線の面積を求めよという問題が意味を持つことになっちゃいますよね。
